현대대수, 잉여류와 라그랑지의 정리.

출처 : http://develten.blog.me/220196363692

순환군, 또 치환군 관련해서 문제를 풀어본 사람들은

군의 위수와 군의 원소의 위수, 또 군의 부분군의 위수 사이에 모종의 관계!가 있다는 걸 눈치챘을지도 모른다.

이번 시간에는 군과 군의 원소, 부분군의 위수 끼리의 관계를 잉여류와 대수동형이라는 강력한 도구를 통해 살펴보도록 하겠다.

 

G가 군이고 H가 G의 부분군일 때, G의 원소 a에 대해 aH = {ah | h는 H의 원소}이고

'G에서 a를 포함하는 H의 우잉여류'라고 한다. 말이 좀 길다.

마찬가지로 aH = {ha | h는 H의 원소}이고 'G에서 a를 포함하는 H의 좌잉여류'라고 한다.

이 때, a를 좌(우)잉여류의 대표라고 부른다.

비슷한 방법으로 우리는 aHa^(-1) = {aha^(-1) | h는 H의 원소}등을 정의할 수 있다.

그렇다면 이제 잉여류가 가지는 중요한 성질들을 알아보자.

 

G가 군이고 H가 G의 부분군이라고 하자. a와 b는 G의 원소라고 하자. 그러면

1. a는 aH의 원소이다.

2. aH = H <-> a는 H의 원소.

3. aH = bH <-> a는 bH의 원소.

4. aH = bH 이거나 aH와 bH는 배반집합.

5. aH = bH <-> a^(-1)b가 H의 원소.

6. |aH| = |bH|

7. aH = Ha <-> H = aHa^(-1)

8. aH는 G의 부분군 <-> a는 H의 원소.

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위 8가지 성질들은 모두 아주 중요하다.

각각은 한 잉여군의 성질을 나타낸다기보단 잉여군끼리의 관계를 주로 나타낸다는 사실에 유의하여 살펴보자.

2, 3, 5번 정리를 통해 두 잉여군이 언제 같아지는가 하는 점에 대해 알아볼 수 있으며

4, 6, 8번 정리를 통해 서로 같지 않은 잉여군 사이에 어떤 공통점이나 관계가 있는가 하는 점에 대해 알아볼 수 있다.

그 중요성에 비해 증명은 그다지 어렵지 않으므로 스스로 차근차근 증명해보도록 하자.

잉여류는 바로 다음에 나올 라그랑지 정리를 증명하는데에 사용될 뿐만 아니라

후에 등장할 정규부분군이나 인자군에 대해 다룰 때에도 등장하는 개념이므로 대충보지 말고 충분히 이해하고 가야한다.

 

이제 군이론에서 꽤나 큰 비중을 차지하고 있는 라그랑지 정리에 대해 살펴볼 때가 되었다.

라그랑지 정리는 다음과 같다.

 

G가 유한군이고 H가 G의 부분군이면 |H|는 |G|를 나눈다.

그리고 G에서 H의 좌잉여류의 개수는 |G|/|H|이다.

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여기서 새로운 정의를 하나 하고 넘어가자.

군 G에서 부분군 H의 지표 |G:H|는 G에서 H의 좌잉여류의 개수이다.

​

라그랑지 정리는 군의 위수만으로 군의 원소와 부분군의 위소를 대단히 한정할 수 있으므로

군의 부분군을 예측하고 한정하는 데 쓰인다. 라그랑지 정리에 대한 따름정리 몇가지를 소개한다.

그리고, 라그랑지 정리의 역은 성립하지 않음에 유의하자.

 

1. |G:H| = |G|/|H|

2. |a|는 |G|를 나눈다.

3. 위수가 소수인 군은 순환군이다.

4. a가 G의 원소일 때 a^|G| = e이다.

5. 정수 a와 소수 p에 대해 a^p mod p = a mod p가 성립한다.

6. 3이상의 소수 p에 대해 G가 위수 2p인 군이라면 G는 Z_2p 혹은 D_p와 대수동형이다.

 

3, 6을 보면 라그랑지 정리를 통해 군의 위수만으로도 그 군이 어떤 군인지 알아낼 수도 있음을 알 수 있고

2, 4, 5를 보면 군의 위수만으로 원소의 성질에 대해 어느정도 알아낼 수 있음도 알 수 있다.

이제부터는 라그랑지 정리와 잉여류를 치환군에 사용해 치환군의 성질에 대해 좀 더 알아보자.

시작하기전에 두 가지 정의를 먼저 보고 가자.

 

G가 S의 치환군이라고 하자. S의 각각의 원소 i에 대해 stabG(i) = {a | a는 G의 원소, a(i) = i}와 같이 정의한다.

같은 상황에서 orbitG(i) = {a(i) | a는 G의 원소}와 같이 정의한다.

 

stabG(i)는 i를 변화시키지 않는 G의 원소들을 모아놓은 것이고

orbit(i)는 G의 원소를 통해 i가 가질 수 있는 함수값들을 모아놓은 것이다.

stabG(i)와 orbitG(i) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

 

G가 S의 유한치환군이라 하자. S의 원소 i에 대해 |G| = |orbitG(i)||stabG(i)|가 성립한다. 

stabG(i)가 G의 부분군이고 stabG(i)의 좌잉여류의 개수가 orbitG(i)의 원소의 개수가 같다는 점을 보이면 증명할 수 있다.

자세한 증명은 생략하겠다.

 

이런 정리들을 이용해서 여러 가지 군의 위수를 알아 낼 수 있다.

정육면체를 회전시키는 군의 위수라든가, 축구공을 회전시키는 군의 위수라든가...

그리고 orbit-stabilizer 정리같은 경우에는 뒤에 실로우정리를 증명할 때 요긴하게 쓰이므로

조금 주의깊게 보고 넘어가도록 하자.

[출처] 현대대수, 잉여류와 라그랑지의 정리.|작성자 먹다남은초콜릿