현대대수, 대수동형

출처: http://develten.blog.me/220196363692

말했듯이, 현대대수는 연산에 대한 학문이다.

만약 두 집합 A와 B가 있고 각각의 연산 *와 +가 있을 때 A에서 B로의 일대일 대응함수 f가

f(a*b)=f(a)+f(b)를 만족한다고 생각해보자.

그렇다면 A와 B에서의 연산은 대상의 이름만 다를 뿐이지 완전히 똑같은 연산이 되는 거다!

마치 영어로 'one plus two is three'라고 하는 것과 우리말로 '일 더하기 이는 삼'이라고 하는 것이 수학적으로 완전히 같은 것처럼.

 

실제로 지금까지 우리가 공부한 군들 중에도 이렇게 이름만 다르지 실제 대수적 구조는 완전히 같은 것들이 많이 있었다.

대표적으로 위수가 n인 원소 a로 만든 순환군 <a>와 Zn. 각각의 a^k를 k에 대응시켜준다면

연산 자체는 완전히 똑같다! 그렇다면 이 둘을 굳이 구분해 줄 필요가 있을까? 이 둘은 대수적으로 완전히 같은데!

그래서 나온 개념이 바로 대수동형이다.

정의는 위에서 설명한 그대로다.

 

*연산을 가지는 군A와 +연산을 가지는 군B가 대수동형이라는 것은

A와 B사이에 다음 조건들을 만족하는 함수 f:A->B가 있다는 뜻이다.

1. f는 일대일 대응 함수이다.

2. A의 임의의 원소 x,y에 대해 f(x*y)=f(x)+f(y)이다.

 

군 A와 군 B가 대수동형이라면 이 둘은 대수적으로 완전히 동일한 성질을 가진다.

따라서 군 A와 군 B를 사실 같다고 봐도 무방한 것이다.

대수동형의 성질을 좀 더 살펴보기 전에 놀라운 정리 하나를 보고 가자.

 

모든 군은 어떤 치환군과 대수동형이다.

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따라서 우리는 어떤 추상적인 대상을 다루는 군이라도 우리에게 익숙한 Sn의 부분집합으로 생각할 수 있게 되었다.

 

그렇다면 이제 대수동형이 가지는 여러 가지 성질들을 보고 가자.

두 군이 대수동형을 이루면 두 군은 많은(실질적으로 모든) 대수적 성질을 공유할 것을 예측할 수 있다.

이를 정리로서 증명하고 가자.

 

A와 B가 함수f에 의해 대수동형이라고 하면 다음이 성립한다.

1. f는 A의 항등원을 B에 항등원에 대응시킨다.

2. A의 임의의 원소 a와 임의의 정수 n에 대해 f(a^n) = {f(a)}^n이다.

3. A의 임의의 원소 x와 y에 대해 xy = yx <-> f(x)f(y) = f(y)f(x)

4. A = <a> <-> B = <f(a)>

5. A의 임의의 원소 a에 대해 |a| = |f(a)|

6. 임의의 정수 k에 대해 A에서의 방정식 x^k = b와 B에서의 방정식 x^k = f(b)는 같은 개수의 근을 갖는다.

7. A가 유한군이라면, A와 B는 같은 위수의 원소를 같은 수만큼 가진다.

대수동형의 성질들을 군의 원소가 아니라 군 자체에 더 무게를 둬서 보면

 

1. f^(-1)은 B에서 A로의 대수동형이다.

2. A가 아벨군이면 B도 아벨군이다.

3. A가 순환군이면 B도 순환군이다.

4. K가 A의 부분군이라면 f(K)도 B의 부분군이 된다.

라는 4가지 성질을 더 얻어낼 수 있다.

 

하지만 이 11가지 성질을 굳이 다 외우려고 하지 말자! 내가 하고싶었던 말은,

A와 B대 대수동형이라면 A와 B는 대수적으로 완전히 같은 성질을 갖는다는 것이다.

​이 사실을 알고 있다면 위의 사실들을 굳이 외우고 있지 않더라도 필요할 때 적절하게 사용할 수 있을 것이다.

 

그렇다면 지금부터는 정말 자주 등장하는 대수동형들에 대해 살펴보겠다.

 

자기동형 : A에서 A자신으로 가는 대수동형을 자기동형이라 한다.

내부자기동형 : 군 G와 그 군의 어떤 원소 a에 대해 함수 f:G->G를 f(x) = axa^(-1)와 같이 정의하자.

                     이 때, 함수 f를 a에 의해 이끌어진 G의 자기동형사상이라 한다.

Aut(G) : G의 모든 자기동형들의 집합.

Inn(G) : G의 모든 내부자기동형들의 집합.

 

Aut(G)와 Inn(G)는 앞으로도 중요하게 다뤄질 것이다. 이에 대해서는 다음의 정리가 성립한다.

 

Aut(G)와 Inn(G)는 함수 합성 연산에 대해 군이 된다.

​G가 아벨군이라면 Inn(G)는 단위군이 된다. Inn(G)를 통해 G의 연산이 얼마나 교환되지 않는지 정도를 알 수 있다.

그럼 대수동형을 찾는 연습도 할 겸, Zn의 생성원들은 모두 U(n)의 원소라는 점을 생각하고 다음의 정리를 보자.

 

Aut(Zn)은 U(n)과 대수동형이다.

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​이 정리를 마지막으로 대수동형 단원 정리를 마친다.

대수동형은 내용 자체가 어렵지는 않지만

앞으로 공부하게 될 내용들에서 정말 정말 정말 중요한 부분이기 때문에

두 군이 주어졌을 때 두 군이 대수동형인지 아닌지 판별하고,

만약 대수동형같다고 생각된다면 대수동형을 찾을 수 있도록 연습을 많이 해두면 좋다.

[출처] 현대대수, 대수동형|작성자 먹다남은초콜릿