현대대수, 위수와 부분군.

출처:http://develten.blog.me/220196363692

지난 포스팅에서는 항등원과 역원을 중심으로 모든 군이 만족하는 기본적인 성질을 알아보았다.

그렇다면 하나의 특정한 군이 주어졌을 때, 그 군이 어떤 성질을 가지고 있는 지 알아보는 데에는 어떤 방법들을 사용할 수 있을까?

특정 군의 성질을 알아보고자 할 때 가장 먼저, 가장 중요하게 사용하는 것이 바로 군, 혹은 군의 원소의 위수이다.

 

그렇다면, 늘 그렇듯^^ 정의로부터 시작해보자.

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군 S의 위수는 S의 집합으로서의 원소의 개수이다.​ 기호로는 |S|라고 쓴다. S가 무한집합일 때 S의 위수도 무한하다고 한다.

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군 S의 원소 x의 위수는 x^n이 항등원이 되게 하는 최소의 자연수 n이다. 그런 자연수 n이 존재하지 않을 때, x의 위수는 무한하다고 한다. 역시 기호로는 |x|를 쓴다.

 

군론에서는 원소의 위수와 군의 위수 사이의 관계가 매우 중요한데, 그 관계에 대해서는 후에 더 알게 될 것이다.

사실상 지금 상황에서 이 정의만 놓고 대체 위수를 가지고 어떻게 군의 성질을 알 수 있느냐! 하고 물어본다면 별로 해 줄 말이 없다.

하지만 군, 또 군의 원소의 위수에 대해 앞으로 엄청나게 많은 정리들이 등장할 것이고

군론이 끝날 때쯤에는 군과 군의 원소의 위수만 가지고도 그 군에 대해 정말 엄청나게 많은 것들을 알 수 있게 된다.

 

미리 조금 말해보자면 우리가 군의 위수를 알고 있다면 그 군의 원소들의 위수가 취할 수 있는 값을 굉장히 한정할 수 있다.

또 우리가 아벨 군의 위수와 그 군의 원소들의 위수를 알고 있다면

그 군을 딱 하나로 결정할 수 있게 된다! 물론 딱 하나라는 말을 하려면 대수동형이라는 말부터 배워야 하겠지만^^

그 외에도 원소의 개수가 소수인 군은 Z_n과 같은 군이 된다라든지... 앞으로 위수에 대한 중요한 정리들을 많이 배운다.

하지만 이런 얘기들에 대해서는 천천히, 조금씩 배워나가기로 하고. 오늘은 먼저 부분군에 대해 알아보자.

 

군 S의 부분집합 G가 S의 연산을 그대로 사용하였을 때 군이 된다면 G를 S의 부분군이라고 한다.

​부분군의 정의이다. S는 G의 연산을 그대로 사용한다는 점에 주의해야한다.

S의 항등원만을 원소로 가지는 부분군을 단위군, S의 진부분집합이면서 단위군이 아닌 부분군을 진부분군이라고 한다.

부분군은 앞으로 군의 위수와 원소의 위수 사이의 관계를 분석하거나 군을 여러 개의 부분군으로 나누어 분석할 때 등

정말 무궁무진하게 쓰이는 개념이므로 잘 알고 싶지 않더라도 저절로 잘 알게 될거다(...)

 

일단 지금은 군의 어떤 부분집합이 주어졌을 때, 부분군인지 아닌지 판별할 수 있어야 한다.

부분군은 군이 되어야 하므로, 앞에서 했던 군이 되기 위한 조건을 모두 만족해야 한다.

S가 군이고 G의 S의 부분집합일 때, G가 부분군이 되기 위한 조건들을 좀 나열해 보자면

 

1. 연산에 대해 닫혀있어야 하고

2. 결합법칙이 성립해야 하며

3. 항등원이 존재해야 하고

4. 모든 원소에 대해 역원이 존재해야 한다.

 

이 중 2번 조건은 S의 연산을 G에 그대로 사용하기 때문에 당연히 성립하겠고,

3번 조건은 1번, 4번 조건이 성립한다면 자연스럽게 성립하게 되기에

우리는 1번, 4번 조건만 확인해주면 된다.

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그래서 기본적으로 어떤 군의 부분집합이 부분군이 되는지 확인하려면

1. 공집합이 아님을 확인해준 다음(보통 항등원이 그 집합에 속하는지 아닌지 확인해준다.)

2. 연산에 대해 닫혀있는지, 또 모든 원소에 대해 역원이 부분집합 안에 존재하는지 확인해준다.

이 두 단계를 거치면 된다.

 

그런데 조금 더 간편하게 부분군인지 여부를 확인하는 방법이 있다.

군 G의 공집합이 아닌 부분집합 H에 대해

H의 어떤 원소 x,y에 대해서도 x*y^(-1)이 항상 H에 속한다면 H는 G의 부분군이다.

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군 G의 부분집합 H가 유한 부분집합이라면 부분군 판정이 훨씬 간편해진다.

H가 군 G의 유한 부분집합이라 하자. H가 연산에 대해 닫혀있다면, H는 G의 부분군이 된다.

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이상으로 군과 군의 원소의 위수, 부분군과 부분군 판정법에 대해 알아보았다.

그럼 구체적으로 군들이 어떤 부분군을 가지는지, 부분군 판정법이 실제로 어떻게 작동하는 지 살펴보자.

먼저, 군 G의 한 원소 a에 대해 <a>를 {a^n | n은 정수}라고 정의하자. 이에 대해 다음이 성립한다.

군 G의 한 원소 a에 대해, <a>는 G의 부분군이 된다.

부분군 판정법을 통해 확인해보자.

1. <a>는 a를 포함하므로 공집합이 아니다.

2. <a>의 임의의 두 원소는 a^i, a^j (i,j는 정수)로 표현되고, a^i*a^(-j)=a^(i-j)이므로 <a>에 속한다.

따라서 <a>는 G의 부분군이 된다.

 

위의 <a>를 a에 의해 생성된 순환 부분군이라고 한다. 특별히 G=<a>일 때, G를 순환군이라고 하고 a를 G의 생성원이라고 한다.

순환군에 대해 몇가지 짚고 넘어가자.

1. {a^n | n은 정수}라는 정의에서 보면 순환군을 무한집합이라고 생각하기 쉽다.

하지만 순환군이 무한집합이어야 할 필요는 없다. Z_n이 그 쉬운 예가 되겠다.

2. 순환군의 생성원은 하나뿐이라고 생각할 수 있지만 이 또한 아니다. Z_n은 n과 서로소인 모든 원소를 생성원으로 가진다.

3. 순환군은 항상 아벨군이 된다. a^i*a^j=a^(i+j)=a^j*a^i가 되는 것에서 쉽게 확인할 수 있다.

 

다음 포스팅에서는 이 순환군에 대해서 집중적으로 다뤄보도록 하자.

 

[출처] 현대대수, 위수와 부분군.|작성자 먹다남은초콜릿